Problema de Homomorfismo

Homomorfismo 

Def. Una aplicación $ \phi $ de un grupo G a un grupo G' se dice que es un homomorfismo si para a, b $ \in G $ cualesquiera siempre se tiene $$ \phi \left(a \cdot b \right) = \phi \left(a \right) \ast \phi \left(b \right) $$

$ \cdot $ operación en G 

$ \ast $ operación en G'

Isomorfismo 
Def. Se dice que $ f: G \rightarrow  G' $ es un isomorfismo cuando f es biyectiva. Es decir 1-1 y sobre.

Problema

Sea G el grupo aditivo de los números reales, $ \overline {G} = G $ , $ \phi \left( x \right) = x + 1 $ para todo $ x \in G $ . Determina si $ \phi $ es un homomorfismo, si lo es determina si es isomorfismo.

$ \phi \left( x \right) = x + 1 $ 

Sean x, y $ \in G $ 

P.D $ \phi \left( x+y \right) = \phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) $

$ \phi \left(x + y \right) = x + y + 1 $

$  \phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) = \left(x + 1 \right) + \left(y + 1 \right) = x + y + 2 $

$ \Rightarrow $  $ \phi \left( x+y \right)$ $ \neq $  $\phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) $

$ \therefore \phi $ No es un homomorfismo.

Bibliografía
Libro: I.N. Herstein , Álgebra Moderna