Problema de órbitas y ciclos

GRUPO DE PERMUTACIONES

Explicación de la multiplicación de dos permutaciones:

Como vemos en la imagen la primera fila se pasa igual, y ahora explicaré como se multiplicaría.

En la primera permutacion iniciamos con el numero 1 y decimos el 1 va al 3 y luego observamos la segunda permutación  el numero 3 que va 2, entonces el 1 va al 2.

Y luego nos regresamos a la primera permutación ahora con el número 2 y decimos el 2 va al 1, observamos la segunda permutación 1 va al 1, entonces el 2 va al 1. Y así sucesivamente.

Órbitas y Ciclos

Sea S un conjunto y θ ∈ A(S).

ü  A la clase de equivalencia de un elemento s ∈ S le llamamos órbita de s bajo θ.

ü  Si S es un conjunto finito y s ∈ S, existe un entero positivo m´ınimo l = l(s) dependiente de s tal que sθl = s.

ü  La órbita de s bajo θ son los elementos s,sθ,sθ2,...,sθl−1.

ü  El conjunto ordenado (s,sθ,sθ2,...,sθl−1) lo llamamos ciclo de θ.

ü  Si se conocen todos los ciclos de θ entonces se conoce θ

 PROBLEMA 

Encuéntrese las órbitas y ciclos de las siguientes permutaciones:

1.- $ \left(  \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6 & 7 & 9 & 8 \end{array} \right) $       

Órbita del 1 $ \longrightarrow $ $ \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $

Órbita del 6 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 6 \rbrace $

Órbita del 7 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 7 \rbrace $

Órbita del 8 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 8,9 \rbrace $

Los ciclos son $ \left(1,2,3,4,5\right), \left(6 \right), \left(7 \right), \left(8,9 \right) $

2.- $ \ast=\left(1,2,3 \right) \bullet =\left(4,5 \right)  \star =\left(1,6,7,8,9 \right) \diamond = \left(1,5 \right) $

$ \ast = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

 $ \bullet = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $  

$ \star = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  6 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 1 \end{array} \right) $

 $ \diamond = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 1 & 5 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet \star =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 6 & 5 & 4 & 7 & 8 & 9 & 1 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet \star \diamond =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 8 & 9 & 5 \end{array} \right) $

Su órbita es $ \lbrace 1,2,3,6,7,8,9,5,4 \rbrace $

Y su ciclo es $ \left( 1,2,3,6,7,8,9,5,4 \right) $

Bibliografía

Libro: I.N. Herstein , Álgebra Moderna