Problema de grupo abeliano libre

Def. Sea A un grupo abeliano. Sea $ \lbrace e_i \rbrace_{i \in I} $ una familia de elementos de A. Decimos que ésta familia es una base para A si la familia es no vacía, y cada elemento x de A tiene una única expresión como combinación lineal

$$ \sum_{i\in I}^{} x_i e_i $$
con $x_i \in \mathbb{Z} $ y casi todas las $ x_i=0 $ , excepto un número finito.

Def. Un grupo abeliano se dice que es libre si tiene una base.

Problema Demuestra que si G y G' son grupos abelianos libres, entonces $ G \times G' $ es abeliano libre. 
Sabemos que $ G \times G' $ es abeliano. 
Por ser $ G \times G' $ grupos abelianos libres, existe $ \lbrace x \rbrace $ base para G y $ \lbrace x' \rbrace $ base para G'. 
P.D $ \lbrace \left(x,e' \right) \rbrace \cup \lbrace \left(e,x' \right) \rbrace $ es una base para GxG', donde e' y e son elemento neutro de G' y G respectivamente. 
1.- Representación de elemento 
Sea $ \left( n x m \right) \in G \times G' $, como $ n \in G $
$ \Rightarrow n= h_1 x_1 + h_2 x_2 + h_3 x_3 +... $
Y como $ m \in G $ 
$ \Rightarrow m= h'_1 x'_1 + h'_2 x'_2 + h'_3 x'_3 +... $ 
$ \Rightarrow$ n x m= $ \left( h_1 x_1 + h_2 x_2 + h_3 x_3 +... , h'_1 x'_1 + h'_2 x'_2 + h'_3 x'_3 +... \right) $ = $ \left( h_1 x_1, h'_1 x'_1 \right) + \left(h_2 x_2, h'_2 x'_2 \right) + \left(h_3 x_3, h'_3 x'_3 \right) + ... $

pero $ \left(h_i x_i, h'_i x'_i \right) = \left(h_i x_i, e' \right) + \left(e, h'_i x'_i \right) = \left(h_i x_i, h_i e' \right) + \left(h'_i e, h'_i x'_i \right) = [ h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x_i \right) ] \forall i $
$ \Rightarrow $ n x m = $ \sum_{i=1}^{k} [h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x'_i \right) ] $

2. Unicidad de representación.

Supóngase que no es única la representación
$ \Rightarrow $ $ \exists h_i , h_j , h_k , h_5 ,... $ tal que cada uno es diferente.

$ \Rightarrow \left(x \times y \right) = [ h_1 \left(x_1, e' \right) + h'_1 \left(e, x'_1 \right)] + ... + [h_j \left(x_j, e' \right) + h'_j \left(e, x'_j \right)] + ... + [h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x'_i \right)] + ... $

$ \wedge \left(x \times y \right) = ... + [h_5 \left(x_j , e' \right) + h'_5 \left(e, x'_j \right)] + ... + [h_k \left(x_i, e' \right) + h'_k \left(e, x'_i \right) ] + ... + $

$ \Rightarrow \left(x \times y \right) = \left(h_1 x_1, h'_1 x_1 \right) + \left(h_j x_j, h'_j x'_j \right) + ... + \left(h_i x_i, h'_i x'_i \right) + ... $

$ \wedge \left(x \times y \right) = \left(h_1 x_1, h'_1 x_1 \right) + \left(h_5 x_j, h'_5 x'_j \right) + ... \left(h_k x_i, h'_k x'_i \right) + ... $

$ \Rightarrow x= h_1 x_1 + ... + h_j x_j + ... + h_i x_i + ...$

$ \wedge x= h_1 x_1 + ... + h_5 x_j + ... + h_k x_i + ... $

Pero $ h_j \neq h_5$ , $ h_i \neq h_k $

Y esto es una contradicción a que es una base.

$ \therefore \lbrace \left(x, e' \right) \rbrace \cup \lbrace \left(e, x' \right) \rbrace $ es una base para $ G \times G' $



Bibliografía
Libro: I.N. Herstein, Álgebra Moderna