Problema de álgebra de conjuntos

Álgebra de Conjuntos

Def. La unión de dos conjuntos A y B, escrita $ A \cup B $, es el conjunto $ \lbrace x | x \in A \vee x \in B \rbrace $. 

Def. La intersección de dos conjuntos A y B, escrita $ A \cap B $, es el conjunto $ \lbrace x | x \in A \wedge x \in B \rbrace $. 

Problema 
Pruébese que  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ = $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$  

1. P.D  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ $ \subset $ $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ 

Sea $ x \in $ $A \cup \left(B \cap C\right)$     

$ \Rightarrow $ $ x \in A $   $ \vee $   $ x \in $ $\left(B \cap C \right)$   

$ \Rightarrow $ $\left( x \in A  \vee x \in B \right)$ $ \wedge$ $ \left( x \in A \vee x \in C \right)$      

$ \Rightarrow$ $ x \in A \cup B $   $ \wedge $   $ x \in A \cup C$         

 $ \Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right)$   $ \cap $   $ x \in \left(A \cup C \right) $

$\Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ 

$\therefore$  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ $ \subset $ $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$    

2. P.D $ \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $\subset$ $ A \cup \left(B \cap C \right)$

Sea $ x \in \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup B \right)$

$\Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right)$   $\wedge$   $ x \in \left(A \cup C \right)$ 

$\Rightarrow$ $ \left(  x \in A  \vee  x \in B \right)   \wedge   \left( x \in A  \vee  x \in C  \right) $  

$\Rightarrow$  $ x \in A   \vee  \left(x \in B   \wedge   x \in C \right)$

$\Rightarrow$  $ x\in A   \cup   \left(B \cap C \right)$

$\therefore$  $ \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $\subset$ $ A \cup \left(B \cap C \right)$

Por 1 y 2  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ = $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $ \blacksquare$



Bibliografía 
Libro: I.N. Herstein, Álgebra Moderna.