Problema de álgebra de conjuntos

Álgebra de Conjuntos

Def. La unión de dos conjuntos A y B, escrita $ A \cup B $, es el conjunto $ \lbrace x | x \in A \vee x \in B \rbrace $. 

Def. La intersección de dos conjuntos A y B, escrita $ A \cap B $, es el conjunto $ \lbrace x | x \in A \wedge x \in B \rbrace $. 

Problema 
Pruébese que  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ = $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$  

1. P.D  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ $ \subset $ $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ 

Sea $ x \in $ $A \cup \left(B \cap C\right)$     

$ \Rightarrow $ $ x \in A $   $ \vee $   $ x \in $ $\left(B \cap C \right)$   

$ \Rightarrow $ $\left( x \in A  \vee x \in B \right)$ $ \wedge$ $ \left( x \in A \vee x \in C \right)$      

$ \Rightarrow$ $ x \in A \cup B $   $ \wedge $   $ x \in A \cup C$         

 $ \Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right)$   $ \cap $   $ x \in \left(A \cup C \right) $

$\Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ 

$\therefore$  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ $ \subset $ $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$    

2. P.D $ \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $\subset$ $ A \cup \left(B \cap C \right)$

Sea $ x \in \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup B \right)$

$\Rightarrow$ $ x \in \left(A \cup B \right)$   $\wedge$   $ x \in \left(A \cup C \right)$ 

$\Rightarrow$ $ \left(  x \in A  \vee  x \in B \right)   \wedge   \left( x \in A  \vee  x \in C  \right) $  

$\Rightarrow$  $ x \in A   \vee  \left(x \in B   \wedge   x \in C \right)$

$\Rightarrow$  $ x\in A   \cup   \left(B \cap C \right)$

$\therefore$  $ \left(A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $\subset$ $ A \cup \left(B \cap C \right)$

Por 1 y 2  $ A \cup \left(B \cap C \right)$ = $ \left( A \cup B \right) \cap \left(A \cup C \right)$ $ \blacksquare$



Bibliografía 
Libro: I.N. Herstein, Álgebra Moderna. 

Problema de grupo abeliano libre

Def. Sea A un grupo abeliano. Sea $ \lbrace e_i \rbrace_{i \in I} $ una familia de elementos de A. Decimos que ésta familia es una base para A si la familia es no vacía, y cada elemento x de A tiene una única expresión como combinación lineal

$$ \sum_{i\in I}^{} x_i e_i $$
con $x_i \in \mathbb{Z} $ y casi todas las $ x_i=0 $ , excepto un número finito.

Def. Un grupo abeliano se dice que es libre si tiene una base.

Problema Demuestra que si G y G' son grupos abelianos libres, entonces $ G \times G' $ es abeliano libre. 
Sabemos que $ G \times G' $ es abeliano. 
Por ser $ G \times G' $ grupos abelianos libres, existe $ \lbrace x \rbrace $ base para G y $ \lbrace x' \rbrace $ base para G'. 
P.D $ \lbrace \left(x,e' \right) \rbrace \cup \lbrace \left(e,x' \right) \rbrace $ es una base para GxG', donde e' y e son elemento neutro de G' y G respectivamente. 
1.- Representación de elemento 
Sea $ \left( n x m \right) \in G \times G' $, como $ n \in G $
$ \Rightarrow n= h_1 x_1 + h_2 x_2 + h_3 x_3 +... $
Y como $ m \in G $ 
$ \Rightarrow m= h'_1 x'_1 + h'_2 x'_2 + h'_3 x'_3 +... $ 
$ \Rightarrow$ n x m= $ \left( h_1 x_1 + h_2 x_2 + h_3 x_3 +... , h'_1 x'_1 + h'_2 x'_2 + h'_3 x'_3 +... \right) $ = $ \left( h_1 x_1, h'_1 x'_1 \right) + \left(h_2 x_2, h'_2 x'_2 \right) + \left(h_3 x_3, h'_3 x'_3 \right) + ... $

pero $ \left(h_i x_i, h'_i x'_i \right) = \left(h_i x_i, e' \right) + \left(e, h'_i x'_i \right) = \left(h_i x_i, h_i e' \right) + \left(h'_i e, h'_i x'_i \right) = [ h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x_i \right) ] \forall i $
$ \Rightarrow $ n x m = $ \sum_{i=1}^{k} [h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x'_i \right) ] $

2. Unicidad de representación.

Supóngase que no es única la representación
$ \Rightarrow $ $ \exists h_i , h_j , h_k , h_5 ,... $ tal que cada uno es diferente.

$ \Rightarrow \left(x \times y \right) = [ h_1 \left(x_1, e' \right) + h'_1 \left(e, x'_1 \right)] + ... + [h_j \left(x_j, e' \right) + h'_j \left(e, x'_j \right)] + ... + [h_i \left(x_i, e' \right) + h'_i \left(e, x'_i \right)] + ... $

$ \wedge \left(x \times y \right) = ... + [h_5 \left(x_j , e' \right) + h'_5 \left(e, x'_j \right)] + ... + [h_k \left(x_i, e' \right) + h'_k \left(e, x'_i \right) ] + ... + $

$ \Rightarrow \left(x \times y \right) = \left(h_1 x_1, h'_1 x_1 \right) + \left(h_j x_j, h'_j x'_j \right) + ... + \left(h_i x_i, h'_i x'_i \right) + ... $

$ \wedge \left(x \times y \right) = \left(h_1 x_1, h'_1 x_1 \right) + \left(h_5 x_j, h'_5 x'_j \right) + ... \left(h_k x_i, h'_k x'_i \right) + ... $

$ \Rightarrow x= h_1 x_1 + ... + h_j x_j + ... + h_i x_i + ...$

$ \wedge x= h_1 x_1 + ... + h_5 x_j + ... + h_k x_i + ... $

Pero $ h_j \neq h_5$ , $ h_i \neq h_k $

Y esto es una contradicción a que es una base.

$ \therefore \lbrace \left(x, e' \right) \rbrace \cup \lbrace \left(e, x' \right) \rbrace $ es una base para $ G \times G' $



Bibliografía
Libro: I.N. Herstein, Álgebra Moderna

Problema de órbitas y ciclos

GRUPO DE PERMUTACIONES

Explicación de la multiplicación de dos permutaciones:

Como vemos en la imagen la primera fila se pasa igual, y ahora explicaré como se multiplicaría.

En la primera permutacion iniciamos con el numero 1 y decimos el 1 va al 3 y luego observamos la segunda permutación  el numero 3 que va 2, entonces el 1 va al 2.

Y luego nos regresamos a la primera permutación ahora con el número 2 y decimos el 2 va al 1, observamos la segunda permutación 1 va al 1, entonces el 2 va al 1. Y así sucesivamente.

Órbitas y Ciclos

Sea S un conjunto y θ ∈ A(S).

ü  A la clase de equivalencia de un elemento s ∈ S le llamamos órbita de s bajo θ.

ü  Si S es un conjunto finito y s ∈ S, existe un entero positivo m´ınimo l = l(s) dependiente de s tal que sθl = s.

ü  La órbita de s bajo θ son los elementos s,sθ,sθ2,...,sθl−1.

ü  El conjunto ordenado (s,sθ,sθ2,...,sθl−1) lo llamamos ciclo de θ.

ü  Si se conocen todos los ciclos de θ entonces se conoce θ

 PROBLEMA 

Encuéntrese las órbitas y ciclos de las siguientes permutaciones:

1.- $ \left(  \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6 & 7 & 9 & 8 \end{array} \right) $       

Órbita del 1 $ \longrightarrow $ $ \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $

Órbita del 6 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 6 \rbrace $

Órbita del 7 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 7 \rbrace $

Órbita del 8 $ \longrightarrow$ $ \lbrace 8,9 \rbrace $

Los ciclos son $ \left(1,2,3,4,5\right), \left(6 \right), \left(7 \right), \left(8,9 \right) $

2.- $ \ast=\left(1,2,3 \right) \bullet =\left(4,5 \right)  \star =\left(1,6,7,8,9 \right) \diamond = \left(1,5 \right) $

$ \ast = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 1 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

 $ \bullet = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $  

$ \star = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  6 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 1 \end{array} \right) $

 $ \diamond = \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 1 & 5 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet \star =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 6 & 5 & 4 & 7 & 8 & 9 & 1 \end{array} \right) $

$ \ast \bullet \star \diamond =  \left( \begin{array} {ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\  2 & 3 & 6 & 1 & 4 & 7 & 8 & 9 & 5 \end{array} \right) $

Su órbita es $ \lbrace 1,2,3,6,7,8,9,5,4 \rbrace $

Y su ciclo es $ \left( 1,2,3,6,7,8,9,5,4 \right) $

Bibliografía

Libro: I.N. Herstein , Álgebra Moderna  

Problema de Homomorfismo

Homomorfismo 

Def. Una aplicación $ \phi $ de un grupo G a un grupo G' se dice que es un homomorfismo si para a, b $ \in G $ cualesquiera siempre se tiene $$ \phi \left(a \cdot b \right) = \phi \left(a \right) \ast \phi \left(b \right) $$

$ \cdot $ operación en G 

$ \ast $ operación en G'

Isomorfismo 
Def. Se dice que $ f: G \rightarrow  G' $ es un isomorfismo cuando f es biyectiva. Es decir 1-1 y sobre.

Problema

Sea G el grupo aditivo de los números reales, $ \overline {G} = G $ , $ \phi \left( x \right) = x + 1 $ para todo $ x \in G $ . Determina si $ \phi $ es un homomorfismo, si lo es determina si es isomorfismo.

$ \phi \left( x \right) = x + 1 $ 

Sean x, y $ \in G $ 

P.D $ \phi \left( x+y \right) = \phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) $

$ \phi \left(x + y \right) = x + y + 1 $

$  \phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) = \left(x + 1 \right) + \left(y + 1 \right) = x + y + 2 $

$ \Rightarrow $  $ \phi \left( x+y \right)$ $ \neq $  $\phi \left( x \right) + \phi \left(y \right) $

$ \therefore \phi $ No es un homomorfismo.

Bibliografía
Libro: I.N. Herstein , Álgebra Moderna