Problema 2 de Álgebra de Conjuntos

Pruébese que  $ A \cap \left(B \cup C \right)$ = $ \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$  

1. P.D. $ A \cap \left(B \cup C \right)$ $\subset$ $ \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$
Sea $ x \in A \cap \left(B\cup C \right)$
$\Rightarrow$ $ x \in A $  $ \wedge $  $ x \in \left(B \cup C \right)$
$\Rightarrow$ $ \left( x \in  A  \wedge x \in B \right)$ $ \vee $ $ \left(x \in A \vee x \in C \right)$
$\Rightarrow$ $ x \in \left(A \cap B \right) $ $ \vee $ $ x \in  \left(A \cap C \right) $
$\Rightarrow$ $ x \in  \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ 
 $\Rightarrow$ $ A \cap \left(B \cup C \right)$ $\subset$ $ \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$


2. P.D.  $ \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ $ \subset $ $ A \cap \left(B \cup C \right) $ 
Sea $ x \in \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$
$\Rightarrow$ $x \in \left(A \cap B \right) $ $ \vee $  $ x \in \left(A \cap C \right)$
$\Rightarrow$  $ \left( x\in A \wedge x \in B \right) $  $ \vee $ $ \left( x \in A \wedge x \in C \right) $
$\Rightarrow$  $ x \in A $ $ \wedge $  $ x \in \left( B \cup C \right)$ $ \vee $ $ x \in C $
$\Rightarrow$  $ x \in A$ $ \wedge $ $ x \in \left(B \cup C \right) $
$\Rightarrow$  $ x \in A \cap \left(B \cup C \right)$
$\Rightarrow$  $ \left(A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$ $ \subset $ $ A \cap \left(B \cup C \right) $ 

Por 1 y 2  $ A \cap \left(B \cup C \right)$ = $ \left( A \cap B \right) \cup \left(A \cap C \right)$  $\blacksquare$


Bibliografía 
Libro: I.N. Herstein, Álgebra Moderna.